BSU Bulletin. Mathematics, Informatics
Bibliographic description:
TO NUMERICAL METHODS FOR SOLVING MULTIDIMENSIONAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS // BSU Bulletin. Mathematics, Informatics. - 2023. №3. . - С. 34-52.
Title:
TO NUMERICAL METHODS FOR SOLVING MULTIDIMENSIONAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS
Financing:
Codes:
Annotation:
The third boundary value problem for a multidimensional convec- tion-diffusion equation with memory effect and non-local (integral) source is inve- stigated. To solve numerically the multidimensional problem, a locally one-dimen- sional difference scheme is constructed, the essence of the idea of which is to reduce the transition from layer to layer to sequential solving of a number of one- dimensional problems in each of the coordinate directions. Using the method of energy inequalities for the solution of a locally one-dimensional difference scheme, an a priori estimate is obtained. The main research method is the method of energy inequalities. An a priori estimate of the LOS solution is obtained, from which follow uniqueness, stability, and convergence of the solution of the difference problem to the solution of the original differential problem at a rate equal to the approximation error. Numerical experiments were carried out.
Keywords:
third initial-boundary value problem, locally one-dimensional sche- me (LOS), a priori estimate, difference scheme, parabolic equation, integro-differen- tial equation, equation with memory, equation with non-local (integral) source.
List of references:
Grasselli M. Uniform attractors of nonautonomous dynamical systems with memory // Progress in nonlinear differential equations and their applications. Basel: Birkhauser Verlag. 2002. Vol. 50. P. 155–178. URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-0348-8221-7_9.
Coleman B. D, Gurtin M. E. Equipresence and costitutive equations for rigid heat conductors // Math. Phys. 1967. Vol. 18. P. 199–208. URL: https://link.springer.com/article/10.1007/bf01596912.
Gurtin M. E, Pipkin A. C. A general theory of heat conduction with finite wave speeds // Arch. Rational Mech. Anal. 1968. Vol. 31. P. 113–126. URL: https://link.springer.com/article/10.1007/bf00281373.
Fabrizio M., Morro A. Mathematical problems in linear viscoelasticity. Philadelphia: SIAM Studies Appl. Math. 1992.
Renardy M., Hrusa W. J., Nohel J. A. Mathematical problems in viscoelasticity. New York: Longman Scientific and Technical, 1987. 273 p.
Ашабоков Б. А., Шаповалов А. В. Конвективные облака: численные мо- дели и результаты моделирования в естественных условиях и при актив- ном воздействии. Нальчик, 2008. 252 с.
Численное моделирование облаков / Е. Л. Коган, И. П. Мазин, Б. Н. Сер- геев, В. И. Хворостьянов. Москва: Гидрометеоиздат. 1984. 185 с.
Berry E. X. Cloud Droplet Growth by Collection // J. Atmos. Sci. 1967. Vol. 24. P. 688–701.
Berry E. X., Reinharolt R. L. An Analysis of Cloud Drop Growth by Collection: Part 2. Single initial Distributions // J. Atmos. Sci. 1974. Vol. 31. P. 1825–1837.
Douglas J., Rachford H. H. On the numerical solution of heat conduction
problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. Vol. 82, № 2. P. 421–439. URL: https://www.ams.org/journals/tran/1956- 082-02/S0002-9947-1956-0084194-4/.
Peaceman D. W., Rachford H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. Industr. Math. Soc. 1955. Vol. 3, № 1. P. 28–41. URL: https://epubs.siam.org/doi/10.1137/0103003.
Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач мате- матической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967. 196 с.
Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномер- ных сетках для уравнений параболического типа // Ж. вы- числ. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3, № 2. C. 266–298. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf7801.
Самарский А. А. Локально-одномерные разностные схемы на неравно- мерных сетках // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3, № 3. C. 431–466. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf7777.
Марчук Г. И. Методы расщепления. Москва: Наука, 1988. 263 с.
Дьяконов Е. Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных нестационарных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. Т. 2, № 4. C. 549–568. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf7874.
Лафишева M. M., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная раз- ностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Ж. вы- числ. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48, № 10. C. 1878–1887. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf102.
Баззаев А. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями III рода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50, № 7. С. 1200–1208. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf4901.
Ашабоков Б. А., Хибиев А. Х., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально- одномерная схема для параболического уравнения общего вида, описывающего микрофизические процессы в конвективных обла- ках // Доклады АМАН. 2021. Т. 21, № 4. С. 45–55. URL: www.mathnet.ru/links/c5c255e075d6952d8b261b288ecc10eb/aman30.pdf.
Экономичные явно-неявные схемы решения многомерных задач диффузии-конвекции / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, В. В. Сидоря- кина, Е. А. Проценко // Вычисл. механика сплошных сред. 2019. Т. 12, № 4. С. 435–445. URL: https://doi.org/10.20948/mm-2023-03-03.
Локально-двумерные схемы расщепления для параллельного решения трехмерной задачи транспорта взвешенного вещества / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, В. В. Сидорякина [и др.] // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2021. Vol. 24, № 2. С. 38–53.
Тран З. Локально-одномерный метод для уравнения переноса сплошной среды с распределенными параметрами на сетеподобной области. Моде- лирование, оптимизация и информационные технологии. 2022. Т. 10, № 2. URL: https://moitvivt.ru/ru/journal/pdf?id=1141.
Бештокова З. В., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная
разностная схема для третьей краевой задачи для параболического уравнения общего вида с нелокальным источником // Дифференц. уравнен. 2018. Т. 54, № 7. С. 891–901. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?doi=10.1134/S0374064118070051.
Бештокова З. В., Лафишева M. M., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерные разностные схемы для параболических уравнений в средах, обладающих «памятью» // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58, № 9. С. 1531–1542. URL: https://doi.org/10.31857/S004446690002531-5.
Бештокова З. В. Численный метод решения нелокальных краевых за- дач для многомерного уравнения параболического типа // Вычислительные методы и программирование. 2022. Т. 23, № 2. С. 153–171. URL: https://num-meth.ru/index.php/journal/article/view/1215/1190.
Самарский А. А. Теория разностных схем. Москва: Наука, 1983. 656 с.
Андреев В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8, № 6. С. 1218–1231. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf7186.
Самарский A. A., Гулин A. B. Устойчивость разностных схем. Москва: Наука, 1973. 416 с.
Coleman B. D, Gurtin M. E. Equipresence and costitutive equations for rigid heat conductors // Math. Phys. 1967. Vol. 18. P. 199–208. URL: https://link.springer.com/article/10.1007/bf01596912.
Gurtin M. E, Pipkin A. C. A general theory of heat conduction with finite wave speeds // Arch. Rational Mech. Anal. 1968. Vol. 31. P. 113–126. URL: https://link.springer.com/article/10.1007/bf00281373.
Fabrizio M., Morro A. Mathematical problems in linear viscoelasticity. Philadelphia: SIAM Studies Appl. Math. 1992.
Renardy M., Hrusa W. J., Nohel J. A. Mathematical problems in viscoelasticity. New York: Longman Scientific and Technical, 1987. 273 p.
Ашабоков Б. А., Шаповалов А. В. Конвективные облака: численные мо- дели и результаты моделирования в естественных условиях и при актив- ном воздействии. Нальчик, 2008. 252 с.
Численное моделирование облаков / Е. Л. Коган, И. П. Мазин, Б. Н. Сер- геев, В. И. Хворостьянов. Москва: Гидрометеоиздат. 1984. 185 с.
Berry E. X. Cloud Droplet Growth by Collection // J. Atmos. Sci. 1967. Vol. 24. P. 688–701.
Berry E. X., Reinharolt R. L. An Analysis of Cloud Drop Growth by Collection: Part 2. Single initial Distributions // J. Atmos. Sci. 1974. Vol. 31. P. 1825–1837.
Douglas J., Rachford H. H. On the numerical solution of heat conduction
problems in two and three space variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1956. Vol. 82, № 2. P. 421–439. URL: https://www.ams.org/journals/tran/1956- 082-02/S0002-9947-1956-0084194-4/.
Peaceman D. W., Rachford H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. Industr. Math. Soc. 1955. Vol. 3, № 1. P. 28–41. URL: https://epubs.siam.org/doi/10.1137/0103003.
Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач мате- матической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967. 196 с.
Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномер- ных сетках для уравнений параболического типа // Ж. вы- числ. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3, № 2. C. 266–298. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf7801.
Самарский А. А. Локально-одномерные разностные схемы на неравно- мерных сетках // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3, № 3. C. 431–466. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf7777.
Марчук Г. И. Методы расщепления. Москва: Наука, 1988. 263 с.
Дьяконов Е. Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных нестационарных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. Т. 2, № 4. C. 549–568. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf7874.
Лафишева M. M., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная раз- ностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Ж. вы- числ. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48, № 10. C. 1878–1887. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf102.
Баззаев А. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями III рода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50, № 7. С. 1200–1208. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf4901.
Ашабоков Б. А., Хибиев А. Х., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально- одномерная схема для параболического уравнения общего вида, описывающего микрофизические процессы в конвективных обла- ках // Доклады АМАН. 2021. Т. 21, № 4. С. 45–55. URL: www.mathnet.ru/links/c5c255e075d6952d8b261b288ecc10eb/aman30.pdf.
Экономичные явно-неявные схемы решения многомерных задач диффузии-конвекции / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, В. В. Сидоря- кина, Е. А. Проценко // Вычисл. механика сплошных сред. 2019. Т. 12, № 4. С. 435–445. URL: https://doi.org/10.20948/mm-2023-03-03.
Локально-двумерные схемы расщепления для параллельного решения трехмерной задачи транспорта взвешенного вещества / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, В. В. Сидорякина [и др.] // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2021. Vol. 24, № 2. С. 38–53.
Тран З. Локально-одномерный метод для уравнения переноса сплошной среды с распределенными параметрами на сетеподобной области. Моде- лирование, оптимизация и информационные технологии. 2022. Т. 10, № 2. URL: https://moitvivt.ru/ru/journal/pdf?id=1141.
Бештокова З. В., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная
разностная схема для третьей краевой задачи для параболического уравнения общего вида с нелокальным источником // Дифференц. уравнен. 2018. Т. 54, № 7. С. 891–901. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?doi=10.1134/S0374064118070051.
Бештокова З. В., Лафишева M. M., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерные разностные схемы для параболических уравнений в средах, обладающих «памятью» // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58, № 9. С. 1531–1542. URL: https://doi.org/10.31857/S004446690002531-5.
Бештокова З. В. Численный метод решения нелокальных краевых за- дач для многомерного уравнения параболического типа // Вычислительные методы и программирование. 2022. Т. 23, № 2. С. 153–171. URL: https://num-meth.ru/index.php/journal/article/view/1215/1190.
Самарский А. А. Теория разностных схем. Москва: Наука, 1983. 656 с.
Андреев В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8, № 6. С. 1218–1231. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf7186.
Самарский A. A., Гулин A. B. Устойчивость разностных схем. Москва: Наука, 1973. 416 с.
Article.pdf